Material

Los siguientes 8 problemas formaron el Examen de Práctica de Michoacán de la 10^a Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Se aplicó en algunas preparatorias del Estado y no tuvo ningún valor oficial. El tiempo para resolverlo fue de 1:00 h. Se calcula que 3000 alumnos de 1^o y 2^o años presentaron dicho examen. Se consideró que resolver correctamente 4 de los 8 problemas era una buena calificación para el tipo de examen de que se trataba por lo que se invitó de manera muy especial (aunque no exclusiva) a los alumnos que obtuvieron al menos 4 respuestas correctas. Para la aplicación de ese examen de práctica y su calificación se contó con la colaboración de algunos profesores de matemáticas de las mismas escuelas donde se aplicó el examen así como de los alumnos de la Escuela de Físico-Matemáticas Christian Castillo Valadez, León Felipe Herrera Ramírez e Israel Moreno Mejía, quienes cubrieron con este trabajo parte de su servicio social.

1. La figura representa un cubo de 1 cm de lado y A, B, C y D son los vértices marcados. ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene de área ABCD?

2. Ana tiene 10 años más que Beto; Beto es 4 años mayor que Cecilia; Cecilia es 5 años mayor que Daniel, y Ernesto es 7 años mayor que Daniel. Si la edad de Ana es a y la de Ernesto es e, ¿cuánto vale a-e?

3. Encontrar un número positivo x que satisfaga Ö{x-Ö[(x+38)]} = 2.

4. ¿Cuántas cifras tiene el número 2¹⁹⁹⁶×5²⁰⁰⁰? [Problema propuesto por Jorge Luis López López.]

5. Compré dos libros; uno de ellos costaba el doble que el otro. Me hicieron un descuento de 25% sobre el más caro y de 10% sobre el más barato. En total, ¿qué porcentaje de descuento obtuve?

6. En un paralelogramo ABCD, M es un punto sobre AD de tal manera que ÐMBD = ÐDBC = 18^o. ¿Cuántos grados mide ÐAMB?

7. La figura de la izquierda abajo representa una tira de papel muy larga dividida en 1996 triángulos equiláteros por las líneas punteadas. Supón que se va doblando la tira por las líneas punteadas en el orden que indican los números de tal forma que la tira siempre conserva su posición horizontal y la parte ya doblada de la izquierda se dobla por encima de la derecha. Escribe el número del triangulito de la figura de la derecha que indica la posición final (después de los 1995 dobleces) en que quedan los vértices A, B y C.

8. Para construir un dado se ponen puntitos en cada cara de un cubito simbolizando los números del 1 al 6 de tal manera que el 1, el 2 y el 3 queden colocados en las posiciones relativas que se indica en la figura, el 6 en la cara opuesta del 1, el 5 en la cara opuesta del 2 y el 4 en la cara opuesta del 3. Me dieron un dado con los números en las posiciones equivocadas. ¿De cuántas maneras equivocadas puede construirse un dado?

Los siguientes 10 problemas constituyeron el Examen Eliminatorio en el Concurso Michoacano de la 10^a Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Su duración fue de 1:30 h

9. Lupita juega con cubos de madera de 1 dm de lado. Pegó los cubos para formar una pirámide: primero pegó 9 cubos, luego encima pegó 4 y hasta arriba uno más). Quiere pintar la superficie visible de los cubos (lo que da al piso no la va a pintar). ¿Cuántos decímetros cuadrados de superficie pintará?

10. ¿Qué dígito debe sustituirse por * para que sea cierta la igualdad

11. Se quiere hacer un adorno cuadrado con mosaicos de 1 dm de lado cada uno. En el mosaico central habrá una estrella. Después alrededor de éste se irán colocando en espiral mosaicos con 2, 3,4, 5,¼ estrellas, respectivamente, como se muestra en la figura (cada uno con una estrella más que el anterior). ¿Cuántos decímetros de lado debe medir el cuadrado final, por lo menos, para que un mosaico con 1996 estrellas quede incluido en el adorno?

12. En un cubo, llamemos C a su centro y unamos C con una de las caras del cubo para formar una pirámide. Si el volumen de la pirámide es de 15 cm³, ¿cuántos centímetros cúbicos de volumen tiene el cubo?

13. Mi edad es dos terceras partes de la edad de Juan; si a la edad de Susana le agrego un 20%, obtengo mi edad. ¿Qué porcentaje debo agregarle a la edad de Susana para que me dé la de Juan?

14. Un cuadrado 2p cm de lado se ha "redondeado" agregando un marco de 2 cm de ancho y poniendo en las esquinas cuartos de círculo de 2 cm de radio. Alrededor de él gira una rueda de 1 cm de radio (la rueda siempre toca el cuadrado redondeado). ¿Cuántas vueltas completas da la rueda sobre sí misma al dar una vuelta completa alrededor del cuadrado redondeado? [Problema propuesto por Jesús Muciño Raymundo.]

15. El promedio de 5 números es 40. Al eliminar dos de ellos el nuevo promedio es 36. ¿Cuál es el promedio de los dos números eliminados?

16. Una mesa de 30 cm de altura tiene un hoyo circular de 12 cm de diámetro. Descansando en él se encuentra una esfera de 20 cm de diámetro. ¿Cuántos centímetros hay del punto más alto de la esfera al piso? [Problema propuesto por Jesús Muciño Raymundo.]

17. ¿Cuántas cifras tiene el número 999 999 999 999²-1? [Problema propuesto por Armando Sánchez Argáez.]

18. El producto de tres enteros positivos es 1500 y su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos tres números?

Los siguientes 4 problemas constituyeron el Examen Semifinal del Concurso Michoacano de la 10^a Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Su duración fue 1:45 h.

19. Se va a viajar a una isla lejana por avión desde México. Los vuelos de ida y vuelta tienen la misma duración. El vuelo sale de México el lunes a las 6:25 de la mañana (hora de México) y llega a las 2:10 de la tarde del martes (hora local de la isla). Después sale de la isla a la 1:35 de la tarde del jueves (hora local de la isla) y llega el mismo jueves a las 3:20 de la tarde (hora de México). Cuando en México son las 4 de la tarde del sábado, ¿qué hora es en la isla y de qué día?

20. En la figura, los dos círculos son tangentes entre sí, A y B son los centros de los círculos, y O es un punto sobre la línea por A y B; los puntos P y Q son los puntos de tangencia en los círculos de la recta que pasa por O. Si el segmento OP mide 12 cm y el segmento AP mide 5 cm, ¿cuántos centímetros mide el segmento PQ?

21. Observa que los números 1900 y 1996 comparten la siguiente propiedad: cada uno de ellos es producto de dos números no 1 cuyas cifras son todas cuadrados perfectos: 1900 = 19×100 y 1996 = 4×499. Encuentra el próximo año que va a tener esa misma propiedad y también encuentra cuál fue el último año antes de 1996 que tuvo la propiedad.

22. Si A es un conjunto de números enteros del 1 al 10, llamemos p_A al producto de todos los elementos de A, y llamemos q_A al producto de todos los enteros del 1 al 10 que no están en A. (Por ejemplo, si A consta de los números 2, 5, 6 y 8, entonces p_A = 2×5×6 ×8 = 480 y q_A = 1×3×4×7×9×10 = 7560.) Encuentra el menor entero que puede obtenerse como resultado de dividir p_A entre q_A.